最全数学各个分支简介

数论

人类从学司帐数开始就一贯和自然数打交道了，后来由于实践的须要，数的观点进一步扩充，自然数被叫做正整数，而把它们的相反数叫做负整数，介于正整数和负整数中间的中性数叫做0。
它们和起来叫做整数。

对付整数可以施行加、减、乘、除四种运算，叫做四则运算。
个中加法、减法和乘法这三种运算，在整数范围内可以毫无阻碍地进行。
也便是说，任意两个或两个以上的整数相加、相减、相乘的时候，它们的和、差、积仍旧是一个整数。
但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够无阻碍地进行。

人们在对整数进走运算的运用和研究中，逐步熟习了整数的特性。
比如，整数可分为两大类—奇数和偶数（常日被称为单数、双数）等。
利用整数的一些基本性子，可以进一步探索许多有趣和繁芜的数学规律，正是这些特性的魅力，吸引了古往今来许多的数学家不断地研究和探索。

数论这门学科最初是从研究整数开始的，以是叫做整数论。
后来整数论又进一步发展，就叫做数论了。
确切的说，数论便是一门研究整数性子的学科。

数论的发展简况

自古以来，数学家对付整数性子的研究一贯十分重视，但是直到十九世纪，这些研究成果还只是孤立地记载在各个期间的算术著作中，也便是说还没有形成完全统一的学科。

自我国古代，许多著名的数学著作中都关于数论内容的论述，比如求最大公约数、勾股数组、某些不定方程整数解的问题等等。
在国外，古希腊时期的数学家对付数论中一个最基本的问题——整除性问题就有系统的研究，关于质数、和数、约数、倍数等一系列观点也已经被提出来运用了。
后来的各个时期的数学家也都对整数性子的研究做出过重大的贡献，使数论的基本理论逐步得到完善。

在整数性子的研究中，人们创造质数是构成正整数的基本“材料”，要深入研究整数的性子就必须研究质数的性子。
因此关于质数性子的有关问题，一贯受到数学家的关注。

到了十八世纪末，历代数学家积累的关于整数性子零散的知识已经十分丰富了，把它们整理加工成为一门系统的学科的条件已经完备成熟了。
德国数学家高斯集中古人的大成，写了一本书叫做《算术磋商》，1800年寄给了法国科学院，但是法国科学院谢绝了高斯的这部精品，高斯只好在1801年自己揭橥了这部著作。
这部书开始了当代数论的新纪元。

在《算术磋商》中，高斯把过去研究整数性子所用的符号标准化了，把当时现存的定理系统化并进行了推广，把要研究的问题和意志的方法进行了分类，还引进了新的方法。

数论的基本内容

数论形成了一门独立的学科后，随着数学其他分支的发展，研究数论的方法也在不断发展。
如果按照研究方法来说，可以分成初等数论、解析数论、代数数论和几何数论四个部分。

初等数论是数论中不乞助于其他数学学科的帮助，只依赖初等的方法来研究整数性子的分支。
比如中国古代有名的“中国剩余定理”，便是初等数论中很主要的内容。

解析数论是利用数学剖析作为工具来办理数论问题的分支。
数学剖析因此函数作为研究工具的、在极限观点的根本上建立起来的数学学科。
用数学剖析来办理数论问题是由欧拉奠基的，俄国数学家车比雪夫等也对它的发展做出过贡献。
解析数论是办理数论中艰深问题的强有力的工具。
比如，对付“质数有无限多个”这个命题，欧拉给出理解析方法的证明，个中利用了数学剖析中有关无穷级数的多少知识。
二十世纪三十年代，苏联数学家维诺格拉多夫创造性的提出了“三角和方法”，这个方法对付办理某些数论难题有着重要的浸染。
我国数学家陈景润在办理“哥德巴赫猜想”问题中也利用的是解析数论的方法。

代数数论是把整数的观点推广到代数整数的一个分支。
数学家把整数观点推广到一样平常代数数域上去，相应地也建立了素整数、可除性等观点。

几何数论是由德国数学家、物理学家闵可夫斯基等人首创和奠基的。
几何数论研究的基本工具是“空间格网”。
什么是空间格网呢？在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。
空间格网对几何学和结晶学有着重大的意义。
由于几何数论涉及的问题比较繁芜，必须具有相称的数学根本才能深入研究。

数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来，它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的发展起到了积极的浸染。
但对付大多数人来讲并不清楚它的实际意义。

由于近代打算机科学和运用数学的发展，数论得到了广泛的运用。
比如在打算方法、代数编码、组合论等方面都广泛利用了初等数论范围内的许多研究成果；又文献宣布，现在有些国家运用“孙子定理”来进行测距，用原根和指数来打算离散傅立叶变换等。
此外，数论的许多比较深刻的研究成果也在近似剖析、差凑集、快速变换等方面得到了运用。
特殊是现在由于打算机的发展，用离散量的打算去逼近连续量而达到所哀求的精度已成为可能。

数论在数学中的地位是独特的，高斯曾经说过“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”。
因此，数学家都喜好把数论中一些悬而未决的疑难问题，叫做“皇冠上的明珠”，以鼓励人们去“摘取”。
下面简要列出几颗“明珠”：费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问题、完备数问题……

在我国近代，数论也是发展最早的数学分支之一。
从二十世纪三十年代开始，在解析数论、刁藩都方程、同等分布等方面都有过主要的贡献，涌现了华罗庚、闵嗣鹤、柯召等最高级的数论专家。
个中华罗庚教授在三角和估值、堆砌素数论方面的研究是享有盛名的。
1949年往后，数论的研究的得到了更大的发展。
特殊是在“筛法”和“歌德巴赫猜想”方面的研究，已取得天下领先的精良成绩。

特殊是陈景润在1966年证明“歌德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”往后，在国际数学引起了强烈的反响，盛赞陈景润的论文是解析数学的名作，是筛法的光辉顶点。
至今，这仍是“歌德巴赫猜想”的最好结果。

拓扑学

拓扑学的由来

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。
有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就涌现了。
那时候创造一些伶仃的问题，后来在拓扑学的形成中占着重要的地位。

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发展史的主要问题。

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的都城，[推举]数学各个研究方向简介普莱格尔河横贯个中。
十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。
人们空隙时常常在这上边闲步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，末了又回到原来的位置。
这个问题看起来很大略有很有趣的问题吸引了大家，很多人在考试测验各种各样的走法，但谁也没有做到。
看来要得到一个明确、空想的答案还不那么随意马虎。

1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经由一番思考，很快就用一种独特的方法给出理解答。
欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。
那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。
经由进一步的剖析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，末了回到原来的位置。
并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。
这是拓扑学的“先声”。

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且主要的关于多面体的定理也和欧拉有关。
这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多面体。
它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。
四色问题又称四色猜想，是天下近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞舆图着色事情时，创造了一种有趣的征象：“看来，每幅舆图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。
”

1872年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个问题，于是四色猜想成了天下数学界关注的问题。
天下上许多一流的数学家都纷纭参加了四色猜想的大会战。
1878～1880年两年间，著名状师兼数学家肯普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣告证明了四色定理。
但后来数学家赫伍德以自己的精确打算指出肯普的证明是缺点的。
不久，泰勒的证明也被人们否定了。
于是，人们开始认识到，这个貌似随意马虎的题目，实在是一个可与费马猜想相媲美的难题。

进入20世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法在进行。
电子打算机问世往后，由于演算速率迅速提高，加之人机对话的涌现，大大加快了对四色猜想证明的进程。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子打算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。
不过不少数学家并不知足于打算机取得的造诣，他们认为该当有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与传统的几何学不同，而是一些新的几何观点。
这些便是“拓扑学”的先声。

什么是拓扑学？

拓扑学的英文名是Topology，直译是舆志学，也便是和研究地形、地貌相类似的有关学科。
我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和常日的平面几何、立体几何不同。
常日的平面几何或立体几何研究的工具是点、线、面之间的位置关系以及它们的度量性子。
拓扑学对付研究工具的是非、大小、面积、体积等度量性子和数量关系都无关。

举例来说，在常日的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完备重合，那么这两个图形叫做全等形。
但是，在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变革。
在拓扑学里没有不能波折的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变。
例如，前面讲的欧拉在办理哥尼斯堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个数。
这些便是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性子有那些呢？首先我们先容拓扑等价，这是比较随意马虎理解的一个拓扑性子。

在拓扑学里不谈论两个图形全等的观点，但是谈论拓扑等价的观点。
比如，只管圆和方形、三角形的形状、大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。
左图的三样东西便是拓扑等价的，换句话讲，便是从拓扑学的角度看，它们是完备一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这些线分成许多块。
在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这便是拓扑等价。
一样平常地说，对付任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的变换便是拓扑变幻，就存在拓扑等价。

该当指出，环面不具有这个性子。
比如像左图那样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一个波折的圆桶形，对付这种情形，我们就说球面不能拓扑的变成环面。
以是球面和环面在拓扑学中是不同的曲面。

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性子。
在拓扑学中曲线和曲面的闭合性子也是拓扑性子。
[推举]数学各个研究方向简介

我们常日讲的平面、曲面常日有两个面，就像一张纸有两个面一样。
但德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年创造了莫比乌斯曲面。
这种曲面就不能用不同的颜色来涂满两个侧面。

拓扑变换的不变性、不变量还有很多，这里不在先容。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展须要，它也得到了迅速的发展。
特殊是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学观点作为剖析函数论的根本，更加促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，凑集论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。
拓扑学的研究就变成了关于任意点集的对应的观点。
拓扑学中一些须要精确化描述的问题都可以运用凑集来论述。

由于大量自然征象具有连续性，以是拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。
通过拓扑学的研究，可以阐明空间的凑集构造，从而节制空间之间的函数关系。
本世纪三十年代往后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的观点。
比如，同等性构造观点、抽象距观点和近似空间观点等等。
有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近的波折情形，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情形，因此，这两门学科该当存在某种实质的联系。
1945年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。

拓扑学发展到本日，在理论上已经十分明显分成了两个分支。
一个分支是侧重于用剖析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做剖析拓扑学。
另一个分支是侧重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。
现在，这两个分支又有统一的趋势。

射影几何

射影几何是研究图形的射影性子，即它们经由射影变换后，依然保持不变的图形性子的几何学分支学科。
一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种分外的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

射影几何的发展简况

十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时涌如今人们的面前。
这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些观点早在古希腊期间就曾经引起一些学者的把稳，欧洲文艺复兴期间透视学的兴起，给这门几何学的产生和发展准备了充分的条件。
这门几何学便是射影几何学。

基于绘图学和建筑学的须要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也便是投影和截影。
早在公元前200年旁边，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。
在4世纪帕普斯的著作中，涌现了帕普斯定理。

在文艺复兴期间，人们在绘画和建筑艺术方面非常把稳和大力研究如何在平面上表现实物的图形。
那时候，人们创造，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中央，把实物的影子影射到画布上去，然后再描述出来。
在这个过程中，被描述下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变革了，有的却保持不变。
这样就匆匆使了数学家对图形在中央投影下的性子进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的观点和理论，形成了射影几何这门学科。

射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个主要分支，紧张是在十七世纪。
在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点观点。
稍后，为这门学科建立而做出了主要贡献的是两位法国数学家——笛沙格和帕斯卡。

笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来研讨工程技能，成了一名工程师和建筑师，他很不附和为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。
1639年，他出版了紧张著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新观点。
他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马乃至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。

迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些观点都是射影几何学的根本。
用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，便是射影几何的基本定理。

帕斯卡也为射影几何学的早期事情做出了主要的贡献，1641年，他创造了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。
”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影几何学中的一条主要定理。
1658年，他写了《圆锥曲线论》一书，书中很多定理都是射影几何方面的内容。
迪沙格和他是朋友，曾经敦促他搞透视学方面的研究，并且建议他要把圆锥曲线的许多性子简化成少数几个基本命题作为目标。
帕斯卡接管了这些建议。
后来他写了许多有关射影几何方面的小册子。

不过迪沙格和帕斯卡的这些定理，只涉及关联性子而不涉及度量性子(长度、角度、面积)。
但他们在证明中却用到了长度观点，而不是用严格的射影方法，他们也没故意识到，自己的研究方向会导致产生一个新的几何体系射影几何。
他们所用的是综合法，随着解析几何和微积分的创立，综合法让位于解析法，射影几何的磋商也中断了。

射影几何的紧张奠基人是19世纪的彭赛列。
他是画法几何的创始人蒙日的学生。
蒙日带动了他的许多学生用综合法研究几何。
由于迪沙格和帕斯卡等的事情被长期忽略了，古人的许多事情他们不理解，不得不重新再做。

1822年，彭赛列揭橥了射影几何的第一部系统著作。
他是认识到射影几何是一个新的数学分支的第一个数学家。
他通过几何方法引进无穷远虚圆点，研究了配极对应并用它来确立对偶事理。
稍后，施泰纳研究了利用大略图形产生较繁芜图形的方法，线素二次曲线观点也是他引进的。
为相识脱坐标系对度量观点的依赖，施陶特通过几何作图来建立直线上的点坐标系，进而使交比也不依赖于长度观点。
由于忽略了连续公理的必要性，他建立坐标系的做法还不完善，但却迈出了决定性的一步。

另—方面，利用解析法来研究射影几何也有长足进展。
首先是莫比乌斯创建一种齐次坐标系，把变换分为全等，相似，仿射，直射等类型，给出线束中四条线交比的度量公式等。
接着，普吕克引进丁另一种齐次坐标系，得到了平面上无穷远线的方程，无穷远圆点的坐标。
他还引进了线坐标观点，于是从代数不雅观点就自然得到了对偶事理，并得到了关于一样平常线素曲线的一些观点。

在19世纪前半叶的几何研究中，综合法和解析法的辩论非常激烈；有些数学家完备否定综合法，认为它没有出息，而一些几何学家，如沙勒，施图迪和施泰纳等，则坚持用综合法而排斥解析法。
还有一些人，如彭赛列，虽然承认综合法有其局限性，在研究过程中也难免借助于代数，但在著作中总是用综合法来论证。
他们的努力使综合射影几何形成一个幽美的体系，而且用综合法也确实形象光鲜，有些问题论证直接而简洁。
1882年帕施建成第一个严格的射影几何演绎体系。

射影几何学的发展和其他数学分支的发展有密切的关系，特殊是“群”的观点产生往后，也被引进了射影几何学，对这门几何学的研究起了促进浸染。

把各种几何和变换群相联系的是克莱因，他在埃尔朗根纲领中提出了这个不雅观点，并把几种经典几何看作射影几何的子几何，使这些几何之间的关系变得十分明朗。
这个纲领产生了巨大影响。
但有些几何，如黎曼几何，不能纳入这个分类法。
后来嘉当等在拓广几何分类的方法中作出了新的贡献。

射影几何学的内容

概括的说，射影几何学是几何学的一个主要分支学科，它是专门研究图形的位置关系的，也是专门用来谈论在把点投影到直线或者平面上的时候，图形的不变性子的科学。

在射影几何学中，把无穷远点看作是“空想点”。
常日的直线再加上一个无穷点便是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。
通过同一无穷远点的所有直线平行。

在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限定就消逝了。

由于经由同一个无穷远点的直线都平行，因此中央射影和平行射影两者就可以统一了。
平行射影可以看作是经由无穷远点的中央投影了。
这样凡是利用中央投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。

射影变换有两个主要的性子：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。
交比是射影几何中主要的观点，用它可以解释两个平面点之间的射影对应。

在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一贯线”和“在一贯线上取一点”叫做对偶运算。
在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把个中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。
这两个图形叫做对偶图形。
在一个命题中阐述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。
这两个命题叫做对偶命题。

这便是射影几何学所特有的对偶原则。
在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。
同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。

研究在射影变换下二次曲线的不变性子，也是射影几何学的一项主要内容。

如果就几何学内容的多少来说，射影几何学< 仿射几何学< 欧氏几何学，这便是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。
比如在欧氏几何学里可以谈论仿射几何学的工具(如简比、平行性等)和射影几何学的工具(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能谈论图形的仿射性子，而在仿射几何学里也不能谈论图形的度量性子。

1872年，德国数学家克莱因在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根操持书》中提出用变换群对几何学进行分类，便是凡是一种变换，它的全体能组成“群”，就有相应的几何学，而在每一种几何学里，紧张研究在相应的变换下的不变量和不变性。

常微分方程

微分方程的观点

方程对付学过中学数学的人来说是比较熟习的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。

但是在实际事情中，常常涌现一些特点和以上方程完备不同的问题。
比如：物质在一定条件下的运动变革，要寻求它的运动、变革的规律；某个物体在重力浸染下自由着落，要寻求着落间隔随韶光变革的规律；火箭在发动机推动下在空间翱翔，要寻求它翱翔的轨道，等等。

物质运动和它的变革规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题便是要去寻求知足某些条件的一个或者几个未知函数。
也便是说，凡是这类问题都不是大略地去求一个或者几个固定不变的数值，而是哀求一个或者几个未知的函数。

解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似，也是要把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来，从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式。
但是无论在方程的形式、求解的详细方法、求出解的性子等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。
因此，凡是表示未知函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。

微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就谈论过微分方程的近似解。
牛顿在建立微积分的同时，对大略的微分方程用级数来求解。
后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技能的发展密切干系的。
数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前打算机的发展更是为常微分方程的运用及理论研究供应了非常有力的工具。

牛顿研究天体力学和机器力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。
后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯利用微分方程各自打算出那时尚未创造的海王星的位置。
这些都使数学家更加笃信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。

微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变革所遵照的基本规律，只要列出相应的微分方程，有理解方程的方法。
微分方程也就成了最有生命力的数学分支。

常微分方程的内容

如果在一个微分方程中涌现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程，也可以大略地叫做微分方程。

一样平常地说，n 阶微分方程的解含有 n个任意常数。
也便是说，微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的解数相同，这种解叫做微分方程的通解。
通解构成一个函数族。

如果根据实际问题哀求出个中知足某种指定条件的解来，那么求这种解的问题叫做定解问题，对付一个常微分方程的知足定解条件的解叫做特解。
对付高阶微分方程可以引入新的未知函数，把它化为多个一阶微分方程组。

常微分方程的特点

常微分方程的观点、解法、和其它理论很多，比如，方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等。
下面就方程解的有关几点简述一下，以理解常微分方程的特点。

求通解在历史上曾作为微分方程的紧张目标，一旦求出通解的表达式，就随意马虎从中得到问题所须要的特解。
也可以由通解的表达式，理解对某些参数的依赖情形，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所须要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。

后来的发展表明，能够求出通解的情形不多，在实际运用中所须要的多是求知足某种指定条件的特解。
当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。

一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。
由于如果没有解，而我们要去求解，那是没故意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。
因此，存在和唯一性定理对付微分方程的求解是十分主要的。

大部分的常微分方程求不出十分精确的解，而只能得到近似解。
当然，这个近似解的精确程度是比较高的。
其余还该当指出，用来描述物理过程的微分方程，以及由试验测定的初始条件也是近似的，这种近似之间的影响和变革还必须在理论上加以办理。

现在，常微分方程在很多学科领域内有着重要的运用，自动掌握、各种电子学装置的设计、弹道的打算、飞机和导弹翱翔的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。
这些问题都可以化为求常微分方程的解，或者化为研究解的性子的问题。
该当说，运用常微分方程理论已经取得了很大的造诣，但是，它的现有理论也还远远不能知足须要，还有待于进一步的发展，使这门学科的理论更加完善。

非欧几何

非欧几何的来源

非欧几何学是一门大的数学分支，一样平常来讲 ，他有广义、狭义、常日意义这三个方面的不同含义。
所谓广义式泛指统统和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗式几何来说的，至于常日意义的非欧几何，便是指罗式几何和黎曼几何这两种几何。

欧几里得的《几何原来》提出了五条公设，长期以来，数学家们创造第五公设和前四个公设比较起来，显得笔墨阐述冗长，而且也不那么显而易见。

有些数学家还把稳到欧几里得在《几何原来》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且往后再也没有利用。
也便是说，在《几何原来》中可以不依赖第五公设而推出前二十八个命题。

因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依赖前四个公设来证明第五公设？这便是几何发展史上最著名的，辩论了长达两千多年的关于“平行线理论”的谈论。

由于证明第五公设的问题始终得不到办理，人们逐渐疑惑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？[推举]数学各个研究方向简介

到了十九世纪二十年代，俄国喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。
他提出了一个和欧式平行公理相抵牾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。
他认为如果这个别系为根本的推理中涌现抵牾，就即是证明了第五公设。
我们知道，这实在便是数学中的反证法。

但是，在他极为细致深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无抵牾的命题。
末了，罗巴切夫斯基得出两个主要的结论：

第一，第五公设不能被证明。

第二，在新的公理体系中展开的持续串推理，得到了一系列在逻辑上无抵牾的新的定理，并形成了新的理论。
这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。

这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。
这是第一个被提出的非欧几何学。

从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为主要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不抵牾的一组假设都有可能供应一种几何学。

险些在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶雅诺什也创造了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。
鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。
他的父亲——数学家鲍耶法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶雅诺什坚持为发展新的几何学而费力事情。
终于在1832年，在他的父亲的一本著作里，以附录的形式揭橥了研究结果。

那个时期被誉为“数学王子”的高斯也创造第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。
但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和伤害，不敢公开拓表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的意见，也不敢站出来公开支持罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。

罗式几何

罗式几何学的公理系统和欧式几何学不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。
由于平行公理不同，经由演绎推理却引出了持续串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

我们知道，罗式几何除了一个平行公理之外采取了欧式几何的统统公理。
因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是精确的，在罗式几何中也同样是精确的。
在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，再罗式几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。
下面举几个例子加以解释：

欧式几何

同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线或向平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗式几何

同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗式几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习气的直不雅观形象有抵牾。
以是罗式几何中的一些几何事实没有象欧式几何那样随意马虎被接管。
但是，数学家们经由研究，提出可以用我们习气的欧式几何中的事实作一个直不雅观“模型”来阐明罗式几何是精确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米揭橥了一篇著名论文《非欧几何阐明的考试测验》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。
这便是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有抵牾，非欧几何也就自然没有抵牾。

人们既然承认欧几里是没有抵牾的，以是也就自然承认非欧几何没有抵牾了。
直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始得到学术界的普遍把稳和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和同等赞颂，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

黎曼几何

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及条约公理都是相同的，只是平行公理不一样。
欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。
罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。
那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。
他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为根本的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，首创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。
在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限演唱，但总的长度是有限的。
黎曼几何的模型是一个经由适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了主要的运用。
在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何便是黎曼几何。
在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的不雅观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是全体时空却是不屈均的。
在物理学中的这种阐明，正好是和黎曼几何的不雅观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个主要的工具。
它不仅是微分几何的根本，也运用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。

三种几何的关系

欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何是三种各有差异的几何。
这三中几何各自所有的命题都构成了一个严密的公理体系，各公理之间知足和谐性、完备性和独立性。
因此这三种几何都是精确的。

在我们这个不大不小、不远不近的空间里，也便是在我们的日常生活中，欧式几何是适用的；在宇宙空间中或原子核天下，罗氏几何更符合客不雅观实际；在地球表面研究航海、航空等实际问题中，黎曼几何更准确一些。

打算数学

什么是打算数学

当代的科学技能发展十分迅速，他们有一个共同的特点，便是都有大量的数据问题。

比如，发射一颗探测宇宙奥秘的卫星，从卫星世纪开始到发射、回收为止，科学家和工程技能职员、工人就要对卫星的总体、部件进行全面的设计和生产，要对选用的火箭进行设计和生产，这里面就有许许多多的数据要进行准确的打算。
发射和回收的时候，又有关于发射角度、轨道、遥控、回收着落角度等等须要进行精确的打算。

有如，在高能加速器里进行高能物理试验，研究具有很高能量的基本粒子的性子、它们之间的相互浸染和转化规律，这里面也有大量的数据打算问题。

打算问题可以数是当代社会各个领域普遍存在的共同问题，工业、农业、交通运输、医疗卫生、文化教诲等等，那一行那一业都有许多数据须要打算，通过数据剖析，以便节制事物发展的规律。

研究打算问题的办理方法和有关数学理论问题的一门学科就叫做打算数学。

打算数学属于运用数学的范畴，它紧张研究有关的数学和逻辑问题若何由打算机加以有效办理。

打算数学的内容

打算数学也叫做数值打算方法或数值剖析。
紧张内容包括代数方程、线性代数方程组、微分方程的数值解法，函数的数值逼近问题，矩阵特色值的求法，最优化打算问题，概率统计打算问题等等，还包括解的存在性、唯一性、收敛性和偏差剖析等理论问题。

我们知道五次及五次以上的代数方程不存在求根公式，因此，哀求出五次以上的高次代数方程的解，一样平常只能求它的近似解，求近似解的方法便是数值剖析的方法。
对付一样平常的超越方程，如对数方程、三角方程等等也只能采取数值剖析的办法。
若何找出比较简洁、偏差比较小、花费韶光比较少的打算方法是数值剖析的紧张课题。

在求解方程的办法中，常用的办法之一是迭代法，也叫做逐次逼近法。
迭代法的打算是比较大略的，是比较随意马虎进行的。
迭代法还可以用来求解线性方程组的解。
求方程组的近似解也要选择适当的迭代公式，使得收敛速率快，近似偏差小。

在线性代数方程组的解法中，常用的有塞德尔迭代法、共轭斜量法、超松弛迭代法等等。
此外，一些比较古老的普通消去法，如高斯法、追赶法等等，在利用打算机的条件下也可以得到广泛的运用。

在打算方法中，数值逼近也是常用的基本方法。
数值逼近也叫近似代替，便是用大略的函数去代替比较繁芜的函数，或者代替不能用解析表达式表示的函数。
数值逼近的基本方法是插值法。
初等数学里的三角函数表，对数表中的改动值，便是根据插值法制成的。

在碰着求微分和积分的时候，如何利用大略的函数去近似代替所给的函数，以便随意马虎求到和求积分，也是打算方法的一个紧张内容。
微分方程的数值解法也是近似解法。
常微分方程的数值解法由欧拉法、预测校正法等。
偏微分方程的初值问题或边值问题，目前常用的是有限差分法、有限元素法等。

有限差分法的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去代替连续变量的微分方程和定解条件。
求出差分方程的解法作为求偏微分方程的近似解。

有限元素法是近代才发展起来的，它因此变分事理和剖分差值作为根本的方法。
在办理椭圆形方程边值问题上得到了广泛的运用。
穆恰，有许多人正在研究用有限元素法来解双曲形和抛物形的方程。

打算数学的内容十分丰富，它在科学技能中正发挥着越来越大的浸染。

运筹学

在中国战国期间，曾经有过一次流传后世的赛马比赛，相信大家都知道，这便是田忌赛马。
田忌赛马的故事解释在已有的条件下，经由方案、安排，选择一个最好的方案，就会取得最好的效果。
可见，方案安排是十分主要的。

现在普遍认为，运筹学是近代运用数学的一个分支，紧张是将生产、管理等事宜中涌现的一些带有普遍性的运筹问题加以提炼，然后利用数学方法进行办理。
前者供应模型，后者供应理论和方法。

运筹学的思想在古代就已经产生了。
敌我双方征战，要克敌制胜就要在理解双方情形的根本上，做出最优的对付仇敌的方法，这便是“运筹帷幄之中，决胜千里之外”的说法。

但是作为一门数学学科，用纯数学的方法来办理最优方法的选择安排，却是晚多了。
也可以说，运筹学是在二十世纪四十年代才开始兴起的一门分支。

运筹学紧张研究经济活动和军事活动中能用数量来表达的有关策划、管理方面的问题。
当然，随着客不雅观实际的发展，运筹学的许多内容不但研究经济和军事活动，有些已经深入到日常生活当中去了。
运筹学可以根据问题的哀求，通过数学上的剖析、运算，得出各种各样的结果，末了提出综合性的合理安排，已达到最好的效果。

运筹学作为一门用来办理实际问题的学科，在处理千差万别的各种问题时，一样平常有以下几个步骤：确定目标、制订方案、建立模型、制订解法。

虽然不大可能存在能处理及其广泛工具的运筹学，但是在运筹学的发展过程中还是形成了某些抽象模型，并能运用办理较广泛的实际问题。

随着科学技能和生产的发展，运筹学已渗入很多领域里，发挥了越来越主要的浸染。
运筹学本身也在不断发展，现在已经是一个包括好几个分支的数学部门了。
比如：数学方案（又包含线性方案；非线性方案；整数方案；组合方案等）、图论、网络流、决策剖析、排队论、可靠性数学理论、库存论、对策论、搜索论、仿照等等。

各分支简介

数学方案的研究工具是操持管理事情中有关安排和估值的问题，办理的紧张问题是在给定条件下，按某一衡量指标来探求安排的最优方案。
它可以表示成求函数在知足约束条件下的极大极小值问题。

数学方案和古典的求极值的问题有实质上的不同，古典方法只能处理具有大略表达式，和大略约束条件的情形。
而当代的数学方案中的问题目标函数和约束条件都很繁芜，而且哀求给出某种精确度的数字解答，因此算法的研究特殊受到重视。

这里最大略的一种问题便是线性方案。
如果约束条件和目标函数都是呈线性关系的就叫线性方案。
要办理线性方案问题，从理论上讲都要解线性方程组，因此解线性方程组的方法，以及关于行列式、矩阵的知识，便是线性方案中非常必要的工具。

线性方案及其解法—纯挚形法的涌现，对运筹学的发展起了重大的推动浸染。
许多实际问题都可以化成线性方案来办理，而纯挚形法有是一个行之有效的算法，加上打算机的涌现，使一些大型繁芜的实际问题的办理成为现实。

非线性方案是线性方案的进一步发展和连续。
许多实际问题如设计问题、经济平衡问题都属于非线性方案的范畴。
非线性方案扩大了数学方案的运用范围，同时也给数学事情者提出了许多基本理论问题，使数学中的如凸剖析、数值剖析等也得到了发展。
还有一种方案问题和韶光有关，叫做“动态方案”。
近年来在工程掌握、技能物理和通讯中的最佳掌握问题中，已经成为常常利用的主要工具。

排队论是运筹学的又一个分支，它有叫做随机做事系统理论。
它的研究目的是要回答如何改进做事机构或组织被做事的工具，使得某种指标达到最优的问题。
比如一个港口该当有多少个码头，一个工厂该当有多少维修职员等。

排队论最初是在二十世纪初由丹麦工程师艾尔郎关于电话交流机的效率研究开始的，在第二次天下大战中为了对飞机场跑道的容纳量进行估算，它得到了进一步的发展，其相应的学科更新论、可靠性理论等也都发展起来。

由于排队征象是一个随机征象，因此在研究排队征象的时候，紧张采取的是研究随机征象的概率论作为紧张工具。
此外，还有微分和微分方程。
排队论把它所要研究的工具形象的描述为顾客来到做事台前哀求接待。
如果做事台以被其它顾客占用，那么就要排队。
另一方面，做事台也时而空闲、时而劳碌。
就须要通过数学方法求得顾客的等待韶光、排队长度等的概率分布。

排队论在日常生活中的运用是相称广泛的，比如水库水量的调节、生产流水线的安排，铁路分成场的调度、电网的设计等等。

对策论也叫博弈论，前面讲的田忌赛马便是范例的博弈论问题。
作为运筹学的一个分支，博弈论的发展也只有几十年的历史。
系统地创建这门学科的数学家，现在一样平常公认为是美籍匈牙利数学家、打算机之父——冯诺依曼。

最初用数学方法研究博弈论是在国际象棋中开始的——如何确定取胜的着法。
由于是研究双方冲突、制胜对策的问题，以是这门学科在军事方面有着十分主要的运用。
近年来，数学家还对水雷和舰艇、歼击机和轰炸机之间的作战、追踪等问题进行了研究，提出了追逃双方都能自主决策的数学理论。
近年来，随着人工智能研究的进一步发展，对博弈论提出了更多新的哀求。

搜索论是由于第二次天下大战中战役的须要而涌现的运筹学分支。
紧张研究在资源和探测手段受到限定的情形下，如何设计探求某种目标的最优方案，并加以履行的理论和方法。
在第二次天下大战中，同盟国的空军和海军在研究如何针对轴心国的潜艇活动、舰队运输和兵力支配等进行甄别的过程中产生的。
搜索论在实际运用中也取得了不少成效，例如二十世纪六十年代，美国探求在大泰西失落踪的核潜艇“打谷者号”和“蝎子号”，以及在地中海探求丢失的氢弹，都是依据搜索论得到成功的。

运筹学有广阔的运用领域，它已渗透到诸如做事、库存、搜索、人口、对抗、掌握、韶光表、资源分配、厂址定位、能源、设计、生产、可靠性、等各个方面。

分形几何

分形几何的产生

客不雅观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”构造，在空想情形下，乃至具有无穷层次。
适当的放大或缩小几何尺寸，全体构造并不改变。
不少繁芜的物理征象，背后便是反响着这类层次构造的分形几何学。

客不雅观事物有它自己的特色长度，要用恰当的尺度去丈量。
用尺来丈量万里长城，嫌太短；用尺来丈量大肠杆菌，又嫌太长。
从而产生了特色长度。
还有的事物没有特色尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这叫做“无标度性”的问题。

如物理学中的湍流，湍流是自然界中普遍征象，小至静室中环抱的轻烟，巨至木星大气中的涡流，都是十分紊乱的流体运动。
流体宏不雅观运动的能量，经由大、中、小、微等许许多度尺度上的漩涡，末了转化身分子尺度上的热运动，同时涉及大量不同尺度上的运动状态，就要借助“无标度性”办理问题，湍流中高漩涡区域，就须要用分形几何学。

在二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中磋商了英国的海岸线有多长？这个问题这依赖于丈量时所利用的尺度。

如果用公里作丈量单位，从几米到几十米的一些弯曲会被忽略；改用米来做单位，测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反响出来。
由于涨潮落潮使海岸线的水陆分边界具有各种层次的不规则性。
海岸线在大小两个方向都有自然的限定，取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。
利用比这更长的尺度是没故意义的。
还有海沙石的最小尺度是原子和分子，利用更小的尺度也是没故意义的。
在这两个自然限度之间，存在着可以变革许多个数量级的“无标度”区，长度不是海岸线的定量特色，就要用分维。

数学家寇赫从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。
往后可以看到，分维才是“寇赫岛”海岸线的确切特色量，即海岸线的分维均介于1到2之间。

这些自然征象，特殊是物理征象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的星体分布，就具有分维的吸引子。
多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是分形的研究工具。
这些匆匆使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。

电子打算机图形显示帮忙了人们推开分形几何的大门。
这座具有无穷层次构造的宏伟建筑，每一个角落里都存在无限嵌套的迷宫和回廊，匆匆使数学家和科学家深入研究。

法国数学家曼德尔勃罗特这位打算机和数学兼通的人物，对分形几何产生了重大的推动浸染。
他在1975、1977和1982年先后用法文和英文出版了三本书，特殊是《分形——形、机遇和维数》以及《自然界中的分形几何学》，首创了新的数学分支——分形几何学。

分形几何的内容

分形几何学的基本思想是：客不雅观事物具有自相似的层次构造，局部与整体在形态、功能、信息、韶光、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。
例如，一块磁铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去，每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。
这种自相似的层次构造，适当的放大或缩小几何尺寸，全体构造不变。

维数是几何工具的一个主要特色量，它是几何工具中一个点的位置所需的独立坐标数目。
在欧氏空间中，人们习气把空间算作三维的，平面或球面算作二维，而把直线或曲线算作一维。
也可以稍加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，对付更抽象或更繁芜的工具，只要每个局部可以和欧氏空间对应，也随意马虎确定维数。
但常日人们习气于整数的维数。

分形理论认为维数也可以是分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时须要引入的主要观点。
为了定量地描述客不雅观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数观点，将维数从整数扩大到分数，从而打破了一样平常拓扑集维数为整数的界线。

维数和丈量有着密切的关系，下面我们举例解释一下分维的观点。

当我们画一根直线，如果我们用 0维的点来量它，其结果为无穷大，由于直线中包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是 0，由于直线中不包含平面。
那么，用若何的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值，而这里直线的维数为 1(大于0、小于2)。

对付我们上面提到的“寇赫岛”曲线，其整体是一条无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是 0(此曲线中不包含平面)，那么只有找一个与“寇赫岛”曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个维数显然大于 1、小于 2，那么只能是小数了，以是存在分维。
经由打算“寇赫岛”曲线的维数是1.2618……。

分形几何学的运用

分形几何学已在自然界与物理学中得到了运用。
如在显微镜下不雅观察落入溶液中的一粒花粉，会瞥见它不间断地作无规则运动(布朗运动)，这是花粉在大量液体分子的无规则碰撞(每秒钟多达十亿亿次)下表现的均匀行为。
布朗粒子的轨迹，由各种尺寸的折线连成。
只要有足够的分辨率，就可以创造原以为是直线段的部分，实在由大量更小尺度的折线连成。
这是一种处处连续，但又处处无导数的曲线。
这种布朗粒子轨迹的分维是 2，大大高于它的拓扑维数 1

在某些电化学反应中，电极附近成绩的固态物质，以不规则的树枝形状向外增长。
受到污染的一些流水中，粘在藻类植物上的颗粒和胶状物，不断因新的沉积而成长，成为带有许多须须毛毛的枝条状，就可以用分维。

自然界中更大的尺度上也存在分形工具。
一枝粗干可以分出不规则的枝杈，每个枝杈连续分为细杈……，至少有十几次分支的层次，可以用分形几何学去丈量。

有人研究了某些云彩边界的几何性子，创造存在从 1公里到1000公里的无标度区。
小于 1公里的云朵，更受地形概貌影响，大于1000公里时，地球曲率开始起浸染。
大小两端都受到一定特色尺度的限定，中间有三个数量级的无标度区，这已经足够了。
分形存在于这中间区域。

近几年在流体力学不稳定性、光学双稳定器件、化学震荡反响等试验中，都实际测得了混沌吸引子，并从实验数据中计算出它们的分维。
学会从实验数据测算分维是最近的一大进展。
分形几何学在物理学、生物学上的运用也正在成为有充足内容的研究领域。

突变理论

突变理论是20世纪70年代发展起来的一个新的数学分支。

突变理论的产生

许多年来，自然界许多事物的连续的、渐变的、平滑的运动变革过程，都可以用微积分的方法给以圆满办理。
例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能及其精确地预测未来的运动状态，这就须要利用经典的微积分来描述。

但是，自然界和社会征象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞越造成的不连续性把系统的行为空间变成不可微的，微积分就无法办理。
例如，水溘然沸腾，冰溘然融化，火山爆发，某地溘然地震，房屋溘然倒塌，病人溘然去世亡……。

这种由渐变、量酿成长为突变、质变的过程，便是突变征象，微积分是不能描述的。
以前科学家在研究这类突变征象时碰着了各式各样的困难，个中紧张困难便是缺少恰当的数学工具来供应描述它们的数学模型。
那么，有没有可能建立一种关于突变征象的一样平常性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续性征象的数学理论。

1972年法国数学家雷内托姆在《构造稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，发布了突变理论的出身。

突变理论的内容

突变理论紧张以拓扑学为工具，以构造稳定性理论为根本，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格掌握条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它便是一个渐变过程。

比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，全体过程便是构造稳定的渐变过程。
如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会毁坏墙的构造稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。
这种构造不稳定性便是突变、飞跃过程。
又如社会变革，从封建社会过渡到成本主义社会，法国大革命采取暴力来实现，而日本的明治维新便是采取一系列改革，以渐变办法来实现。

对付这种构造的稳定与不稳定征象，突变理论用势函数的洼存在表示稳定，用洼取消表示不稳定，并有自己的一套运算方法。
例如，一个小球在洼底部时是稳定的，如果把它放在突起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新洼地过渡，事物就发生突变；当小球在新洼地底处，又开始新的稳定，以是势函数的洼存在与消逝是判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。

托姆的突变理论，便是用数学工具描述系统状态的飞跃，给出系统处于稳定态的参数区域，参数变革时，系统状态也随着变革，当参数通过某些特定位置时，状态就会发生突变。

突变理论提出一系列数学模型，用以解是自然界和社会征象中所发生的不连续的变革过程，描述各种征象为何从形态的一种形式溘然地飞跃到根本不同的另一种形式。
如岩石的分裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的毁坏以及社会构造的激变……。

按照突变理论，自然界和社会征象中的大量的不连续事宜，可以由某些特定的几何形状来表示。
托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子掌握下的突变，有七种突变类型：折迭突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

例如，用大拇指和中指夹持一段有弹性的钢丝，使其向上波折，然后再用力压钢丝使其变形，当达到一定程度时，钢丝会溘然向下波折，并失落去弹性。
这便是生活中常见的一种突变征象，它有两个稳定状态：上弯和下弯，状态由两个参数决定，一个是手指夹持的力(水平方向)，一个是钢丝的压力(垂直方向)，可用尖顶突变来描述。

尖顶突变和蝴蝶突变是几种质态之间能够进行可逆转的模型。
自然界还有些过程是不可逆的，比如去世亡是一种突变，活人可以变成去世人，反过来却弗成。
这一类过程可以用折迭突变、燕尾突变等时函数最高奇次的模型来描述。
以是，突变理论是用形象而精确的得数学模型来描述质量互变过程。

英国数学家奇曼教授称突变理论是“数学界的一项智力革命——微积分后最主要的创造”。
他还组成一个研究团体，悉心研究，扩展运用。
短短几年，论文已有四百多篇，可成为盛极一时，托姆为此造诣而荣获当前国际数学界的最高奖——菲尔兹奖。

突变理论的运用

突变理论在在自然科学的运用是相称广泛的。
在物理学研究了相变、分叉、混沌与突变的关系，提出了动态系统、非线性力学系统的突变模型，阐明了物理过程的可重复性是构造稳定性的表现。
在化学中，用蝴蝶突变描述氢氧化物的水溶液，用尖顶突变描述水的液、气、固的变革等。
在生态学中研究了物群的消长与生灭过程，提出了根治蝗虫的模型与方法。
在工程技能中，研究了弹性构造的稳定性，通过桥梁过载导致毁坏的实际过程，提出最优构造设计……。

突变理论在社会征象的一个用归纳为某种量的突变问题，人们施加掌握成分影响社会状态是有一定条件的，只有在掌握成分达到临界点之前，状态才是可以掌握的。
一旦发生根本性的质变，它就表现为掌握成分所无法掌握的突变过程。
还可以用突变理论对社会进行高层次的有效掌握，为此就须要研究事物状态与掌握成分之间的相互关系，以及稳定区域、非稳定区域、临界曲线的分布特点，还要研究突变的方向与幅度。

模糊数学

二十世纪六十年代，产生了模糊数学这门新兴学科。

模糊数学的产生

当代数学是建立在凑集论的根本上。
凑集论的主要意义就一个侧面看，在与它把数学的抽象能力延伸到人类认识过程的深处。
一组工具确定一组属性，人们可以通过解释属性来解释观点（内涵），也可以通过指明工具来解释它。
符合观点的那些工具的全体叫做这个观点的外延，外延实在便是凑集。
从这个意义上讲，凑集可以表现观点，而凑集论中的关系和运算又可以表现判断和推理，统统现实的理论系统都一可能纳入凑集描述的数学框架。

但是，数学的发展也是阶段性的。
经典凑集论只能把自己的表现力限定在那些有明确外延的观点和事物上，它明确地限定：每个凑集都必须由明确的元素构成，元素对凑集的从属关系必须是明确的，决不能模棱两可。
对付那些外延不分明的观点和事物，经典凑集论是暂时不去反响的，属于待发展的范畴。

在较永劫光里，精确数学及随机数学在描述自然界多种事物的运动规律中，得到显著效果。
但是，在客不雅观天下中还普遍存在着大量的模糊征象。
以古人们回避它，但是，由于当代科技所面对的系统日益繁芜，模糊性总是伴随着繁芜性涌现。

各门学科，尤其是人文、社会学科及其它“软科学”的数学化、定量化趋向把模糊性的数学处理问题推向中央地位。
更主要的是，随着电子打算机、掌握论、系统科学的迅速发展，要使打算性能像人脑那样对繁芜事物具有识别能力，就必须研究和处理模糊性。

我们研究人类系统的行为，或者处理可与人类系统行为比较拟的繁芜系统，如航天系统、人脑系统、社会系统等，参数和变量甚多，各种成分相互交错，系统很繁芜，它的模糊性也很明显。
从认识方面说，模糊性是指观点外延的不愿定性，从而造成判断的不愿定性。

在日常生活中，常常碰着许多模糊事物，没有分明的数量界线，要利用一些模糊的词句来形容、描述。
比如，比较年轻、高个、大胖子、好、俊秀、善、热、远……。
在人们的事情履历中，每每也有许多模糊的东西。
例如，要确定一炉钢水是否已经炼好，除了要知道钢水的温度、身分比例和冶炼韶光等精确信息外，还须要参考钢水颜色、沸腾情形等模糊信息。
因此，除了很早就有涉及偏差的打算数学之外，还须要模糊数学。

人与打算机比较，一样平常来说，人脑具有处理模糊信息的能力，长于判断和处理模糊征象。
但打算机对模糊征象识别能力较差，为了提高打算机识别模糊征象的能力，就须要把人们常用的模糊措辞设计成机器能接管的指令和程序，以便机器能像人脑那样简洁灵巧的做出相应的判断，从而提高自动识别和掌握模糊征象的效率。
这样，就须要探求一种描述和加工模糊信息的数学工具，这就推动数学家深入研究模糊数学。
以是，模糊数学的产生是有其科学技能与数学发展的一定性。

模糊数学的研究内容

1965年，美国掌握论专家、数学家查德揭橥了论文《模糊凑集》，标志着模糊数学这门学科的出身。

模糊数学的研究内容紧张有以下三个方面：

第一，研究模糊数学的理论，以及它和精确数学、随机数学的关系。
察德以精确数学凑集论为根本，并考虑到对数学的凑集观点进行修正和推广。
他提出用“模糊凑集”作为表现模糊事物的数学模型。
并在“模糊凑集”上逐步建立运算、变换规律，开展有关的理论研究，就有可能布局出研究现实天下中的大量模糊的数学根本，能够对看来相称繁芜的模糊系统进行定量的描述和处理的数学方法。

在模糊凑集中，给定例模内元素对它的从属关系不一定只有“是”或“否”两种情形，而是用介于0和1之间的实数来表示从属程度，还存在中间过渡状态。
比如“老人”是个模糊观点，70岁切实其实定属于老人，它的从属程度是 1，40岁的人肯定不算老人，它的从属程度为 0，按照查德给出的公式，55岁属于“老”的程度为0.5，即“半老”，60岁属于“老”的程度0.8。
查德认为，指明各个元素的从属凑集，就即是指定了一个凑集。
当从属于0和1之间值时，便是模糊凑集。

第二，研究模糊措辞学和模糊逻辑。
人类自然措辞具有模糊性，人们常常接管模糊措辞与模糊信息，并能做出精确的识别和判断。

为了实现用自然措辞跟打算机进行直接对话，就必须把人类的措辞和思维过程提炼成数学模型，才能给打算机输入指令，建立和是的模糊数学模型，这是利用数学方法的关键。
查德采取模糊凑集理论来建立模糊措辞的数学模型，使人类措辞数量化、形式化。

如果我们把合乎语法的标准句子的从属函数值定为1，那么，其他文法稍有缺点，但尚能表达相仿的思想的句子，就可以用以0到1之间的连续数来表征它从属于“精确句子”的从属程度。
这样，就把模糊措辞进行定量描述，并定出一套运算、变换规则。
目前，模糊措辞还很不成熟，措辞学家正在深入研究。

人们的思维活动常常哀求观点的确定性和精确性，采取形式逻辑的排中律，既非真既假，然后进行判断和推理，得出结论。
现有的打算机都是建立在二值逻辑根本上的，它在处理客不雅观事物的确定性方面，发挥了巨大的浸染，但是却不具备处理事物和观点的不愿定性或模糊性的能力。

为了使打算机能够仿照人脑高等智能的特点，就必须把打算机转到多值逻辑根本上，研究模糊逻辑。
目前，模糊罗基还很不成熟，尚需连续研究。

第三，研究模糊数学的运用。
模糊数学因此不愿定性的事物为其研究工具的。
模糊凑集的涌现是数学适应描述繁芜事物的须要，查德的功绩在于用模糊凑集的理论找到办理模糊性工具加以确切化，从而使研究确定性工具的数学与不愿定性工具的数学沟通起来，过去精确数学、随机数学描述感到不敷之处，就能得到填补。
在模糊数学中，目前已有模糊拓扑学、模糊群论、模糊图论、模糊概率、模糊措辞学、模糊逻辑学平分支。

模糊数学的运用

模糊数学是一门新兴学科，它已初步运用于模糊掌握、模糊识别、模糊聚类剖析、模糊决策、模糊评判、系统理论、信息检索、医学、生物学等各个方面。
在气候、构造力学、掌握、生理学等方面已有详细的研究成果。
然而模糊数学最主要的运用领域是打算机职能，不少人认为它与新一代打算机的研制有密切的联系。

目前，天下上发达国家正积极研究、试制具有智能化的模糊打算机，1986年日本山川烈博士首次试制成功模糊推理机，它的推理速率是1000万次/秒。
1988年，我国汪培庄教授辅导的几位博士也研制成功一台模糊推理机——分立元件样机，它的推理速率为1500万次/秒。
这表明我国在打破模糊信息处理难关方面迈出了主要的一步。

模糊数学还远没有成熟，对它也还存在着不同的见地和意见，有待实践去考验。

偏微分方程

偏微分方程的起源 如果一个微分方程中涌现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称 微分方程；如果一个微分方程中涌现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量 有关，而且方程中涌现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程便是偏微分方程。

在科学技能日月牙异的发展过程中，人们研究的许多问题用一个自变量的函数来描述已经 显得不足了，不少问题有多个变量的函数来描述。
比如，从物理角度来说，物理量有不同 的性子，温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量；速率、电场的引力等，不仅在数值上 有不同，而且还具有方向，这些量叫做向量；物体在一点上的张力状态的描述出的量叫做 张量，等等。
这些量不仅和韶光有关系，而且和空间坐标也有联系，这就要用多个变量的 函数来表示。

该当指出，对付所有可能的物理征象用某些多个变量的函数表示，只能是空想化的，如介 质的密度，实际上“在一点”的密度是不存在的。
而我们把在一点的密度看作是物质的质量 和体积的比当体积无限缩小的时候的极限，这便是空想化的。
介质的温度也是这样。
这样 就产生了研究某些物理征象的空想了的多个变量的函数方程，这种方程便是偏微分方程。

微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程， 随后不久，法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了分外的偏微分方程。
这些著作当时没有引起多大把稳。
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的 曲线的研究》中，发起证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。
这样就由对弦 振动的研究首创了偏微分方程这门学科。

和欧拉同时期的瑞士数学家丹尼尔贝努利也研究了数学物理方面的问题， 提出理解弹性系 振动问题的一样平常方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。
拉格朗日也谈论了一阶偏 微分方程，丰富了这门学科的内容。

偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数学物理问题的研究繁荣起来了，许多 数学家都对数学物理问题的办理做出了贡献。
这里该当提一提法国数学家傅立叶，他年轻 的时候便是一个出色的数学学者。
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》 ，在 文章中他提出了三维空间的热方程，也便是一种偏微分方程。
他的研究对偏微分方程的发 展的影响是很大的。

偏微分方程的内容

偏微分方程是什么样的？它包括哪些内容？这里我们可从一个例子的研究加以先容。

弦振动是一种机器运动，当然机器运动的基本定律是质点力学的 F=ma，但是弦并不是质 点，以是质点力学的定律并不适用在弦振动的研究上。
然而，如果我们把弦细细地分成若 干个极小极小的小段，每一小段抽象地看作是一个质点，这样我们就可以运用质点力学的 基本定律了。

弦是指又细又长的弹性物质，比如弦乐器所用的弦便是苗条的、优柔的、带有弹性的。
演 奏的时候，弦总是绷紧着具有一种张力，这种张力大于弦的重量几万倍。
当演奏的人用薄 片拨动或者用弓在弦上拉动，虽然只因其所打仗的一段弦振动，但是由于张力的浸染，传 播到使全体弦振动起来。

用微分的方法剖析可得到弦上一点的位移是这一点所在的位置和韶光为自变量的偏微分 方程。
偏方程又很多种类型，一样平常包括椭圆型偏微分方程、抛物型偏微分方程、双曲型偏 微分方程。
上述的例子是弦振动方程，它属于数学物理方程中的颠簸方程，也便是双曲型 偏微分方程。

偏微分方程的解一样平常有无穷多个，但是办理详细的物理问题的时候，必须从中选取所须要 的解，因此，还必须知道附加条件。
由于偏微分方程是同一类征象的共同规律的表示式， 仅仅知道这种共同规律还不敷以节制和理解详细问题的分外性，以是就物理征象来说，各 个详细问题的分外性就在于研究工具所处的特定条件，便是初始条件和边界条件。

拿上面所举的弦振动的例子来说，对付同样的弦的弦乐器，如果一种因此薄片拨动弦，另 一种因此弓在弦上拉动， 那么它们发出的声音是不同的。
缘故原由便是由于“拨动”或“拉动”的那 个“初始”时候的振动情形不同，因此产生后来的振动情形也就不同。

天文学中也有类似情形，如果要通过打算预言天体的运动，必须要知道这些天体的质量， 同时除了牛顿定律的一样平常公式外，还必须知道我们所研究的天体系统的初始状态，便是在 某个起始韶光，这些天体的分布以及它们的速率。
在办理任何数学物理方程的时候，总会 有类似的附加条件。

就弦振动来说，弦振动方程只表示弦的内点的力学规律，对弦的端点就不成立，以是在弦 的两端必须给出边界条件，也便是考虑研究工具所处的边界上的物理状况。
边界条件也叫 做边值问题。
当然，客不雅观实际中也还是有“没有初始条件的问题” 如定场问题（静电场、稳定浓度分布、 ， 稳定温度分布等） ，也有“没有边界条件的问题” 如着重研究不靠近两端的那段弦，就抽象 ， 的成为无边界的弦了。
在数学上，初始条件和边界条件叫做定解条件。
偏微分方程本身是表达同一类物理征象的 共性，是作为办理问题的依据；

定解条件却反响出详细问题的个性，它提出了问题的详细 情形。
方程和定解条件合而为一体，就叫做定解问题。

求偏微分方程的定解问题可以先求出它的通解，然后再用定解条件确定出函数。
但是一样平常 来说，在实际中通解是不随意马虎求出的，用定解条件确定函数更是比较困难的。

偏微分方程的解法还可以用分离系数法，也叫做傅立叶级数；还可以用分离变数法，也叫 做傅立叶变换或傅立叶积分。
分离系数法可以求解有界空间中的定解问题，分离变数法可 以求解无界空间的定解问题；也可以用拉普拉斯变换法去求解一维空间的数学物理方程的 定解。
对方程实施拉普拉斯变换可以转化成常微分方程，而且初始条件也一并考虑到，解 出常微分方程后进行反演就可以了。

该当指出，偏微分方程的定解虽然有以上各种解法，但是我们不能忽略由于某些缘故原由有许 多定解问题是不能严格解出的，只可以用近似方法求出知足实际须要的近似程度的近似 解。

常用的方法有变分法和有限差分法。
变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题 的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用打算机进行打算；还有一种 更故意义的仿照法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。
虽然物理征象实质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则 形状的物体里的稳定温度分布问题，在数学上是拉普拉斯方程的边值问题，由于求解比较 困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也办理了所 研究的稳定温度场中的温度分布问题。

随着物理科学所研究的征象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的运用范围更广泛。
从数学自身的角度看，偏微分方程的求解匆匆使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分 方程、代数、微分若干好多么各方面进行发展。
从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中央。

篇幅有限，还有一些大的数学分支尚未先容，比如 剖析学（实剖析，复剖析，调和剖析），随机数学等，详细到运用数学的二级分支，均未涉及到。

本文由超级数学建模编辑整理

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